Numeri naturali

• Che cosa sono i numeri naturali ?

• In matematica, l'espressione numeri naturali indica l'insieme {0, 1, 2, 3, 4, ...}. Esso viene fatto corrispondere biunivocamente all'insieme dei numeri interi non negativi {0, +1, +2, +3, +4, ...}. Talvolta viene usata anche per indicare l'insieme dei numeri interi positivi { 1, 2, 3, 4, ...} . I numeri naturali hanno due scopi principali: possono essere usati per contare ("ci sono 3 mele sul tavolo"), o per definire un ordinamento ("questa è la terza città più grande del Paese").

• Cenni storici

• I numeri naturali sono i numeri più "intuitivi" che esistono. L'operazione di distinguere tra nessuno, uno e molti risale all'uomo primitivo. Fu un processo graduale (probabilmente non legato ad una singola cultura o popolazione) che da vari studi viene fatto risalire circa al 300.000 a.C. Col tempo furono introdotti diversi simboli e parole per indicare i numeri naturali e in diversi casi anche alcuni tipi di frazioni. Esistono simboli risalenti agli antichi egizi che indicano frazioni unitarie, cioè con numeratore uguale a uno.[1] Se ne possono trovare ad esempio nel papiro di Rhind risalente circa al 2000 a.Le origini dell'idea di numero naturale astratto vengono fatte risalire ai Babilonesi nel 2000 a.C., come testimoniato dalla tavoletta Plimpton 322, "sussidiario di matematica" per gli studenti dell'epoca, che contiene problemi matematici che ad un'attenta analisi sembrano essere qualcosa di più di semplici esercizi con fini utilitaristici

• Notazioni

• In matematica si usa il simbolo {N} } per indicare l'insieme dei numeri naturali. Nella maggior parte della letteratura sui simboli matematici, si assume che l'insieme dei numeri naturali contenga anche lo zero; per evitare ogni ambiguità è spesso usata la dizione interi non negativi.

• Definizioni formali

• Nonostante la sua intuitività, quello di numero naturale non è, in matematica, un concetto primitivo: è infatti possibile darne una definizione basandosi unicamente sulla teoria degli insiemi. La definizione è utile perché permette anche di estendere il concetto di numero a oggetti più generali: i numeri transfiniti.
• Storicamente, la precisa definizione matematica dei numeri naturali ha incontrato alcune difficoltà. Gli assiomi di Peano definiscono le condizioni che ogni definizione
•  matematica precisa deve soddisfare. Alcune costruzioni mostrano che dall'interno di una teoria degli insiemi è possibile costruire un modello degli assiomi di Peano

• Assiomi di Peano

• Lo stesso argomento in dettaglio: Assiomi di Peano.
• Ogni numero naturale a ha un numero naturale successore, denotato come S(a).
• Non esiste un numero naturale il cui successore è 0.
• Numeri naturali distinti hanno successori pure distinti: se a ≠ b, allora S(a) ≠ S(b).
• Se una proprietà P è posseduta dallo 0 ed è posseduta anche dal successore di ogni numero naturale che possiede la proprietà P, allora la proprietà P è posseduta da tutti i numeri naturali. (Questo postulato è noto anche come principio di induzione.)

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• Che cos'è un numero ?

• In matematica, un numero è un modo di esprimere una quantità, oppure la posizione in un elenco di elementi, oppure il rapporto tra grandezze dello stesso tipo.[1] Il concetto di numero nasce per la necessità del conteggio, come astrazione del concetto di quantità, realizzato attraverso una corrispondenza biunivoca tra elementi di due insiemi distinti.

  I NUMERI NATURALI SI DIVIDONO IN:

  Numeri naturali 

  Durante la storia della matematica sono stati definiti diversi insiemi numerici. Tra questi i numeri naturali, che sono:

  0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
  

  Numeri interi relativi 

  Se a partire dall'insieme dei numeri naturali si introduce il segno (e lo zero se non incluso), distinguendo tra numeri positivi e numeri negativi, si ottengono i numeri interi relativi (o semplicemente interi), il cui insieme è indicato per convenzione con il simbolo  {Z} }. I numeri interi relativi sono:

  -3,-2,-1,0,1,2,

  Numeri razionali

  Se a partire dai numeri interi si costruiscono numeri dati dal rapporto tra di loro, si ottengono i numeri razionali, i quali sono quindi esprimibili tramite una frazione (ratio in latino, da cui il nome di numeri "razionali"). Ad esempi

  L'insieme di tutti i numeri razionali è per convenzione indicato col simbolo {Q}.

  Numeri reali

  L'insieme dei numeri reali comprende i numeri esprimibili, con o senza la virgola, tramite il sistema numerico decimale. I numeri reali comprendono i numeri elencati precedentemente. In particolare i numeri reali si dividono in razionali e irrazionali, oppure in algebrici e trascendenti.

  L'insieme dei numeri reali è simboleggiato per convenzione con {R} }.

  Numeri complessi 

  L'insieme dei numeri reali non fornisce tutte le soluzioni delle equazioni algebriche. Per esempio, l'equazione: x^{2}=-1}

  non ha soluzioni nel campo dei numeri reali, perché il quadrato di un numero reale è sempre positivo o nullo. Per risolvere questo problema, è stata introdotta l'unità immaginaria {\displaystyle i} . Essa è così definita:

  {2}=-1.}

  Tale numero non appartiene all'insieme dei numeri reali, esso appartiene all'insieme dei numeri complessi. In generale, un numero complesso è un'espressione  a+bi